Lp范数的上下界分析

一个简单直观Lp范数上下界推导，并获得一个重要的结论。

范数

闵可夫斯基距离为，

$$d\left(X,Y\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$$

可以简约成$L_p$范数，表示为，

$$L_p(x_1, \dots, x_n) =\left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{i} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$$

有时候我们想快速确认其范围，而又不想直接计算，如何做呢？

上下界分析

假设$|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|$中，$|x|_j$最大，那么有，

$$\begin{align} L_p(x_1, \dots, x_n) &= \left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{i} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}} \newline &\le \left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{j} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}} \newline &= \Big(n \big|x_{j} \big|^{p}\Big)^{\frac {1}{p}} \newline &= n^{\frac{1}{p}} |x|_j \newline &= n^{\frac{1}{p}}\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|) \end{align}$$

类似地，

$$\begin{align} L_p(x_1, \dots, x_n) &= \left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{i} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}} \newline &\ge \Big(\big|x_{i} \big|^{p}\Big)^{\frac {1}{p}} \newline &= \max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|) \end{align}$$

因此有，

$$\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|) \le \left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{i} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}} \le n^{\frac{1}{p}}\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|)$$

当$p$很大的情况下，$n^{\frac{1}{p}}$接近1。因此，当我们要估计$L_p(x_1, \dots, x_n) $的取值范围时，只需要计算数据的最大值以及$n^{\frac{1}{p}}$即可。

这个推导也获得一个重要的结论，

$$\lim_{p \rightarrow \infty} \left(\sum _{i=1}^{n}\big|x_{i} \big|^{p}\right)^{\frac {1}{p}} = \max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|)$$

也就是说$L_{\infty}(x_1, \dots, x_n) = \max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|)$​。

总结

本文介绍一种获得Lp范数的上下界的简单方法，并得到$L_{\infty}(x_1, \dots, x_n) = \max(|x_{1}|,|x_{2}|,\dots,|x_{n}|)$。

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