确定性变量的随机化技巧

有些场景下我们需要把确定性变量转变为随机变量，例如一些策略需要对波动率建模、鲁棒性测试、仿真场景或回测。

但是现实中没有更多可以运用的数据，或者我们期望测试的时候具有确定性，这个在波动率建模中很重要。

那么，如何对确定性变量进行随机化呢？

其实可以通过简单的数学技巧可以做到这一点。这个技巧很简单，但是最近才想到，这里分享下。

（by the way，本文使用 Markdown 写，就直接 post 上来。）

连续随机变量与离散随机变量在一定的机器下可以互相转换，因此这里的讨论不区分这两类随机变量。

伯努利分布技巧

很多情况下，只要我们保持系统的均值性质不变，系统就是稳定的。基于这个原理，我们可以引入代理分布来把变量随机化，并保持其均值不变。

通过伯努利分布的离散方法可以方便地把变量随机化。假设有确定性变量 $s$，考虑其随机取值是二元的，即 $s_1 , s_2$

根据伯努利分布，

$$\begin{align} f_{X}(x) =\left\{\begin{matrix} p, &\;\;\text{if}\;x = 1\\ 1-p, & \;\; \text{if}\;x = 0 \end{matrix}\right. \end{align}$$

那么，在随机化操作下有，

$$\begin{align} f_{S}(s) =\left\{\begin{matrix} p, &\;\;\text{if}\;s = s_1\\ 1-p, & \;\; \text{if}\;s = s_2 \end{matrix}\right. \end{align}$$

通过这么操作，确定性变量 $s$ 在随机化后的均值，

$$E[S] = ps_1 + (1-p) s_2 = s$$

保持不变。

可以进一步推广到 $n$ 元情况，

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} p_i s_i = s \newline \text{s.t} \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 \end{aligned}$$

更一般的讨论

以上是对伯努利分布作为代理的讨论。在实际建模场景还可以根据风险要求选择分布，总之这里只要保持某个统计性质不变即可。这就意味着我们既使用均值、方差（相当于直接对波动率做模拟）也可以使用其他不常见的统计特征。

总结

本文介绍一种确定性变量随机化的技巧，在波动率建模中很常用。很简单技巧，但是最近才想到，这里分享下~

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